Matematika SMP

BAB I

BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

A. Bilangan Bulat

I. Pengertian

Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif.

Bilangan bulat digambarkan pada garis bilangan sbb:

Bilangan bulat terdiri dari

- Bilangan bulat positif : { 1, 2, 3, 4, .....}

- Bilangan bulat negatif : {...., -4, -3, -2, -1}

- Bilangan nol : {0}

Di dalam bilangan bulat termuat bilangan-bilangan :

1.      Bilangan Cacah à (0,1,2,3,4,...) adalah bilangan yang dimulai dari nol

2.      Bilangan Asli à (1,2,3,4,...) adalah bilangan yang dimulai dari 1

3.      Bilangan Genap à (2,4,6,8,...) adalah bilangan yang habis dibagi 2

4.      Bilangan Ganjil à (1,3,5,7,...) adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2 (bersisa)

5.      Bilangan Prima à (2,3,5,7,11,...) adalah bilangan asli yang hanya habis dibagi oleh bilangan satu dan bilangannya sendiri.

II. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Berlaku :

1.      a + b = a + b

2.      a – b = a + (-b )

3.      -a + (-b) = - (a + b)

4.      a – (-b) = a + b

contoh:

1. 4 + 3 = 7

2. 6 - 4 = 6 + (-4) = 2

3. -3 + (-2) = - (3+2) = -5

4. 9 – (-5) = 9 + 5 = 14

2. Perkalian dan Pembagian

- Perkalian merupakan penjumlahan secara berulang.

contoh: 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15

Berlaku:

1.      a x b = ab

2.      a x (– b) = - ab

3.      (-a) x b = - ab

4.      (-a) x (-b) = ab

contoh:

1. 5 x 6 = 30

2. 4 x (-7) = - 28

3. (-3) x 4 = -12

4. (-6) x (-7) = 42

- Pembagian merupakan kebalikan/invers dari perkalian.

III. Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

1. Sifat Komutatif (pertukaran)

- Pada penjumlahan

a + b = b + a

contoh: 4 + 8 = 8 + 4

- Pada perkalian

a x b = b x a

contoh : 4 x 8 = 8 x 4

2. Sifat Asosiatif (pengelompokan)

- Pada penjumlahan

a + (b + c) = (a + b) + c

contoh: 4 + ( 5 + 6) = ( 4 + 5 ) + 6 = 15

- Pada perkalian

a x (b x c ) = (a x b) x c

contoh : 4 x (5 x 6) = ( 4 x 5) x 6 = 120

3. Sifat Distributif (penyebaran)

- Pada operasi perkalian terhadap penjumlahan

a x (b + c ) = (a x b ) + ( a x c )

contoh: 2 x ( 3 + 4 ) = (2 x 3 ) + ( 2 x 4 ) = 14

- Pada operasi perkalian terhadap pengurangan

a x (b - c ) = (a x b ) - ( a x c )

contoh: 5 x ( 7 - 6 ) = (5 x 7 ) - ( 5 x 6 ) = 5

IV. Pangkat dan Akar Pangkat Bilangan Bulat

1. Kuadrat dan Pangkat Tiga Bilangan Bulat

- Kuadrat Bilangan Bulat (Pangkat dua)

Diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri, atau mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak dua kali.

a² = a x a

contoh :

4² = 4 x 4 = 16

(-9)² = (-9) x (-9) = 81

- Pangkat Tiga Bilangan Bulat

Diperoleh dengan mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak tiga kali.

a³ = a x a x a

contoh:

6³ = 6 x 6 x 6 = 216

(-5)³ = (-5) x (-5) x (-5) = (25) x (-5) = -125

2. Akar Kuadrat dan Akar Pangkat Tiga

- Akar Kuadrat

Merupakan kebalikan dari kuadrat (pangkat dua). Lambangnya √ (akar pangkat dua)

contoh:

√49 = ± 7, karena 7² = 49 dan (-7)² = 49

√121 = ± 11 karena 11² = 121 dan (-11)² = 121

- Akar Pangkat Tiga

Merupakan kebalikan dari pangkat tiga. Lambangnya ³√ (akar pangkat tiga)

contoh:

³√27 = 3, karena 3³ = 27

³√125 = 5, karena 5³ = 125

B. Bilangan Pecahan

1. Macam-macam bilangan Pecahan

a. Pecahan Biasa

pembilangnya lebih kecil dari penyebut.

b. Pecahan campuran

pembilangnya lebih besar dari penyebut.

c. Pecahan desimal

pecahan yang dalam penulisannya menggunakan tanda koma.

contoh: 0, 5 ; 1, 75

d. Pecahan Persen

e. Pecahan permil

2. Operasi Hitung pada Bilangan pecahan

a. Penjumlahan

- penjumlahan pada pecahan biasa penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah.

apabila penyebutnya tidak sama cari KPK dari penyebutnya itu.

KPK dari 3 dan 4 adalah 12 ( cara mencari KPK lihat di Bab FPB dan KPK)

sehingga perhitungannya menjadi:

-penjumlahan pada pecahan campuran apabila penyebutnya sudah sama, penjumlahan bisa langsung dilakukan

contoh:

Apabila penyebutnya tidak sama, maka harus disamakan dulu

- Penjumlahan pada pecahan desimal

Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus ke bawah

contoh:

b. Pengurangan

sama dengan penjumlahan pengurangan juga terdiri dari

- pengurangan pada pecahan biasa

penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah

contoh:

Ada cara lain dengan tidak menggunakan KPK yaitu dengan mengalikan penyebutnya dapat dirumuskan sbb:

-Pengurangan pada pecahan campuran apabila penyebutnya sudah sama, pengurangan bisa langsung dilakukan

contoh:

- Pengurangan pada pecahan desimal

Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus ke bawah

contoh:

c. Perkalian

- Perkalian pada pecahan biasa

dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

- Perkalian pada pecahan campuran

Pecahan campuran harus diubah dulu ke dalam pecahan biasa baru dilakukan pengalian

d. Pembagian

- Pembagian pada pecahan biasa

Apabila pecahan biasa dibagi dengan pecahan biasa, maka hasilnya adalah perkalian pecahan biasa yang dibagi dengan kebalikan dari pecahan pembagi

- Pembagian pada pecahan campuran

Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa dulu

contoh:

- Pembagian pada pecahan desimal

Dilakukan dengan cara bersusun pendek

contoh:

BAB II

BENTUK ALJABAR

A. Pengertian Bentuk Aljabar

B. Operasi Pada Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Suku-suku yang dapat dijumlahan/dikurangkan adalah suku-suku yang sejenis dan yang dijumlahkan/dikurangkan adalah koefisiennya.

a. Penjumlahan

ax + bx = (a+b)x

ax + b + cx + d = (a+c)x + (b+d)

contoh:

1. 7x + 3x = ?

2. -2 x² - 3 x2 = ?

3. 2 x2 -3 + x2 - 4 = ?

Jawab :

1. 7x + 3x = (7+3)x = 10x

2. -2 x² - 3 x² = (-2-3) x² = -5 x²

3. 2 x² -3 + x² - 4 = (2+1) x² + (-3-4) = 3 x² – 7

b. Pengurangan

ax - bx = (a-b)x

ax - b - cx - d = (a - c)x - (b+d)

contoh:

1. 7x – 3x = ?

2. 5x – 8 – 2x – 1 = ?

jawab :

1. 7x – 3x = (7-3)x = 4x

2. 5x – 8 – 2x – 1 = (5-2)x – (8+1) = 3x - 9

2. Perkalian dan Pembagian

- Perkalian

a. Perkalian konstanta dengan bentuk aljabar

a(bx+cy) = abx + acy

contoh:

1. 5 (2x+4y) = 10x + 20y

2. -3(3x-2y) = -9x + 6y

b. Perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar

ax(bx+cy) = ab x² + acxy

ay(bx+cy) = abxy + ac y²

(x+a) (x+b) = x² + bx + ax +ab

contoh :

1. 3x(2x+3y) = 6 x² + 9xy

2. (3x+y) (x-2y) = 3 x . x + (3x . -2y) + y. x + (y . -2y)

= 3 x² + (-6xy)+xy+(-2 y² )

= 3x² - 5xy - 2 y2

- Pembagian

contoh:

1. (8x+4):4 = = (8x + 4) = 2x + 1

2. 12a² : 3a = = = 4a

3. Pemangkatan

Sifat-sifat pemangkatan bilangan bulat berlaku juga pada pemangkatan bentuk aljabar.

contoh:

1. (3x)² = 3x . 3x = 9 x²

2. (2xy)² = 2xy . 2xy = 4x²y²

a. Pemangkatan bentuk aljabar dalam bentuk x + y

contoh:

(x + y)² = (x+y) (x+y)

= (x+y) x + (x+y) y

= x² + xy + xy + y²

= x² + 2xy + y²

b.Pemangkatan bentuk aljabar dalam bentuk x - y

contoh:

(x - y)² = (x - y) (x - y)

= (x- y) x - (x - y) y

= x² - xy - xy + y²

= x² - 2xy + y²

Pemangkatan bentuk-bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah Segitiga Pascal sbb:

Perpangkatan bentuk aljabar (x-y)ⁿ dengan n bilangan asli juga menggunakan kaidah Segitiga Pascal, akan tetapi tanda setiap koefisiennya berganti dari (+) untuk suku ganjil dan (-) untuk suku genap.

(x - y)⁰ = 1

(x - y)¹ = x - y

(x - y)² = x² - 2xy + y²

(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³

(x - y)⁴ = x⁴ - 4x³y + 6x²y² - 4xy³ + y⁴

dan seterusnya

4. Pemfaktoran

C. Operasi Pecahan dalam Aljabar

Dalam Bentuk Aljabar juga dapat berupa pecahan

contoh:

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Konsep penjumlahan dan pengurangan pecahan dalam bentuk aljabar sama dengan penjumlahan/pengurangan pecahan biasa yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.

contoh:

2. Perkalian dan Pembagian

a. Perkalian

Pada perkalian bentuk pecahan penyelesaiannya dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

b. Pembagian

Pada pembagian bentuk pecahan penyelesaiannya sama dengan bentuk pecahan biasa.

3. Pemangkatan

Pemangkatan pecahan bentuk aljabar adalah perkalian pecahan bentuk aljabar itu

sendiri sebanyak n kali.

contoh:

D. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Penyederhanaan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan operasi bentuk aljabar. Faktorkan pembilang dan penyebut kemudian faktor yang sama dari pembilang dan penyebut dibagi.

contoh:

E. FPB dan KPK Bentuk Aljabar

contoh:

Carilah FPB dan KPK dari bentuk: 12xy², 24xyz² dan 8x²yz !

Jawab:

FPB à ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil

KPK à ambil semua faktor yang sama, pilih faktor dengan pangkat terbesar

Faktor prima:

12xy² = 2² . 3 . x . y²

24xyz² = 2³ . 3 . x . y . z²

8x²yz = 2². x². y. z

FPB = 2² .x . y = 4xy

KPK = 2³.3. x². y². z² = 24 x² y² z²

BAB III

PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIBEL

A. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.

1. Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel

Bentuk umum Persamaan Linear Satu Variabel :

ax + b = c

dengan:

- a≠ 0 ; x disebut variabel/peubah

- Semua suku di sebelah kiri tanda ‘=’ disebut ruas kiri

- Semua suku di sebelah kanan tanda ‘=’ disebut ruas kanan

contoh:

1. x - 4 = 0

2. 5x + 6 = 16

Catatan :

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

contoh:

x + 2 =5

p + 1 = 7

x dan p disebut variabel

Jika x dan p diganti dengan suatu bilangan/angka maka kalimat matematika terbuka tersebut merupakan suatu pernyataan yang dapat bernilai benar atau

salah.

Jika x dalam kalimat terbuka di atas diganti dengan nilai x = 3 maka x + 2 menjadi 3 + 2 = 5 à merupakan pernyataan benar

dan jika diganti dengan nilai x = 1 maka x + 2 = 5 menjadi 1 + 2 = 5 à merupakan pernyataan salah

2. Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

-Menambah atau mengurangi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama.

contoh:

a. Carilah penyelesaian dari : x + 10 = 5

Jawab :

Hal pertama yang harus kita selesaikan adalah bagaimana menghilangkan angka 10. Angka 10 dihilangkan dengan menambahkan lawan dari 10 yaitu -10 sehingga PLSV tersebut menjadi :

x + 10 -10 = 5 – 10

x = - 5

b. Carilah penyelesaian dari : 2x - 5 = 11

jawab :

lawan dari -5 adalah 5, sehingga PLSV tersebut menjadi :

2x - 5 + 5= 11 + 5

2x = 16

x = 16/2 = 8

-Mengalikan atau membagi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama

Suatu PLSV dikatakan ekuivalen (sama) apabila kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

contoh:

Jawab:

-Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan gabungan dari 1 dan 2 di atas.

contoh:

Carilah penyelesaian dari :

3 (3x + 2) = 6 ( x -2)

jawab :

9x + 6 = 6x – 12

9x + 6 – 6 = 6x – 12 – 6 à kedua ruas dikurang 6

9x = 6x – 18

9x – 6x = 6x – 18 – 6x à kedua ruas dikurangi -6x

3x = -18

3x/3= -18/3 à kedua ruas dibagi 3

x = - 6

B. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dinyatakan dengan menggunakan tanda/lambang ketidaksamaan/pertidaksamaan dengan satu variable (peubah) berpangkat satu.

contoh:

3x + 6 ≥ 2x – 5

5q – 1 < 0

x dan q disebut variabel

1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

-Menambah atau mengurangi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama

contoh:

carilah penyelesaian x + 6 ≥ 8

jawab :

x + 6 – 6 ≥ 8 – 6

x ≥ 2

-Mengalikan atau membagi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama.

Jika dikalikan atau dibagi bilangan negatif maka tanda pertidaksamaannya dibalik.

contoh:

1. Carilah penyelesaian 2x – 4 < 10

jawab :

2. Carilah penyelesaian 3 – 4x ≥ 19

Jawab:

BAB IV

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel

dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk Umum PLDV :

ax + by = c

x dan y disebut variabel

B. Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum SPLDV :

ax + by = c

px + qy = r

dengan :

x , y disebut variabel

a, b, p, q disebut keifisien

c , r disebut konstanta

C. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan cara :

1. Substitusi

Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain.

contoh:

Carilah penyelesaian sistem persamaan

x + 2y = 8

2x − y= 6

jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8

Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,

Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan 2x – y = 6 menjadi :

2 (8 – 2y) – y = 6 à  (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)

16 – 4y – y = 6

16 – 5y = 6

-5y = 6 – 16

-5y = -10

5y = 10

y = 10/5 = 2

substitusikan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8

x + 2 (2) = 8

x + 4 = 8

x = 8 - 4

x = 4

Jadi penyelesaian dari sistem

x + 2y = 8

2x − y= 6

adalah x = 4 dan y = 2

2. Eliminasi

Dengan cara menghilangkan salah satu variable x atau y

contoh:

Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:

Jawab ;

x + 2y = 8

2x – y = 6

(i) mengeliminasi variable x

5y = 10

y = 10/5

y = 2

substitusikan nilai y = 2 ke dalam salah satu persamaan

x + 2 y = 8

x + 2 (2) = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

Jadi penyelesaian dari sistem

x + 2y = 8

2x − y= 6

adalah x = 4 dan y = 2

(ii) mengeliminasi variable y

substitusikan nilai x = 4 ke dalam salah satu persamaan

x + 2 y = 8

(4) + 2y = 8

2y = 8 – 4

2y = 4

y = 4/2

y = 2

Jadi penyelesaian dari sistem

x + 2y = 8

2x − y= 6

adalah x = 4 dan y = 2

3. Grafik

Dengan menggambarkan persamaan linearnya pada koordinat Cartesius, titik potong dari kedua persamaan linier tersebut merupakan penyelesaiannya.

contoh:

Carilah penyelesaian dari:

x + y = 8

2x − y = 4

Jawab:

-Tentukan titik potong garis x + y = 8 dengan sumbu x dan sumbu y

titik potong dengan sumbu y jika x = 0

jika x = 0  maka y = 8 – x = 8 – (0) = 8

titik potong dengan sumbu x jika y = 0

jika y = 0 maka x = 8 – y = 8 – (0) = 8

Maka persamaan garis x + y = 8 adalah melalui titik (0.8) dan (8,0)

-Tentukan titik potong garis 2x – y = 4 dengan sumbu x dan sumbu y

titik potong dengan sumbu y jika x = 0

jika x = 0  maka y = 2x – 4 = 2(0) – 4 = - 4

titik potong dengan sumbu x jika y = 0

jika y = 0 maka 2 x = y + 4 = (0) + 4 = 4, maka x = 4/2 = 2

Maka persamaan garis 2x – y = 4 adalah melalui titik (0, -4) dan (2,0)

Gambar grafiknya sbb:

dari gambar grafik terlihat titik potong garis x + y = 8 dan 2x – y = 4 adalah (4,4).

Jadi, penyelesaian dari

x + y = 8

2x − y = 4

adalah x = 4 dan y = 4

Contoh soal penggunaan sistem persamaan linear dua variabel :

Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila harga

untuk membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga

dan 5 buah jeruk ?

Jawab :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan

model matematika.

Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas menjadi :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4 x + 5 y = ?

Kita eliminasi variabel x :

substitusikan y = 1000 ke dalam salah satu persamaan :

2x + 3 y = 6000

2x + 3 (1000) = 6000

2x + 3000 = 6000

2x = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

Dari penyelesaian di atas diperoleh x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk), sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk adalah:

 4 x + 5 y = 4 (1500) + 5 (1000)

= 6000 + 5000

= Rp. 11.000,-

BAB V

HIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.

contoh:

1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11.

Anggota himpunannya adalah 2,4,6,8,10.

Jadi, A = {2,4,6,8,10}

2. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

Anggota himpunannya adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Jadi, B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

3. C adalah himpunan nama bulan yang huruf depannya J

Anggota himpunannya adalah Januari, Juni, Juli

Jadi, C = {Januari, Juni, Juli}

B. Anggota Himpunan

Anggota himpunan adalah semua benda atau obyek yang terdapat di dalam himpunan. Anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∈ dan jika bukan anggota himpunan dinyatakan dengan notasi ∉. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

contoh:

A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10 ditulis:

A={bilangan prima kurang dari 10} atau A = {2,3,5,7}

maka 2 ∈ A, 3 ∈ A, 5 ∈ A, 7 ∈ A sedangkan 1 ∉ A, 4 ∉ A, 6 ∉ A, 8 ∉ A, 9 ∉ A

Banyak anggota himpunan A adalah n(A) = 4

C. Menyatakan Suatu Himpunan

Untuk menyatakan himpunan dapat digunakan 3 cara :

1. Menuliskan dengan kata-kata atau syarat keanggotaannya

2. Memberikan notasi pembentuk himpunan

3. Mendaftarkan anggota-anggotanya

contoh:

D. Macam-macam Himpunan

1. Himpunan kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan { } atau ∅

contoh:

P adalah himpunan nama bulan yang diawali huruf K.

Tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf K, maka P={ }

2. Himpunan terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya terhingga atau terbatas

contoh:

P adalah himpunan bilangan genap di bawah 5, ditulis P ={2,4}

3. Himpunan tak terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga atau tak terbatas.

contoh:

Q adalah himpunan bilangan cacah, ditulis Q={0,1,2,3,...}

4. Himpunan semesta

Himpunan yang memuat semua objek (anggota himpunan) yang dibicarakan.

Himpunan semesta dilambangkan dengan “S”.

contoh:

R={1,2,3,4,5}

Himpunan semesta yang mungkin adalah:

S={bilangan asli di bawah 10}, S={Bilangan cacah} dsb.

5. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A

menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A ⊂ B.

contoh:

A={2,4}

B={1,2,3,4,5}

maka A ⊂ B

Himpunan A dengan banyak anggota n(A) mempunyai himpunan bagian yang mungkin dari himpunan itu sebanyak 2^n(A).

contoh:

Diketahui himpunan A={2,3,5} n(A) = 3

Banyak himpunan yang mungkin dari himpunan A adalah :

2n(A)= 23 = 8

Himpunan bagian dari A adalah:

{ }, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

6. Himpunan Ekuivalen

Himpunan A dan B dikatakan Ekuivalen jika banyak anggota kedua himpunan

tersebut sama n(A) = n(B).

contoh:

A={1,2,3}  n(A) = 3

B={4,5,6}  n(B) = 3

n(A) = n(B), maka A ekuivalen dengan B

E. Diagram Venn

Diagram Venn adalah suatu diagram yang digunakan untuk meyatakan sebuah himpunan atau beberapa himpunan yang saling berhubungan.

Aturan untuk membuat diagram Venn:

1. Himpunan semesta digambarkan dalam sebuah persegipanjang, simbol S ditulis pada

pojok kiri atas.

2. Setiap himpunan yang dibicarakan ditunjukkan dengan gambar berupa kurva tertutup

sederhana.

3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah atau titik

contoh:

S= {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

A={2,4,6,8,10,12}

B={10,12,14,16,18,20}

Diagram Vennnya:

F. Operasi pada Himpunan

1. Irisan Himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan

anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.

Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A ∩ B = {x| x ∈ A dan x ∈ B}

Daerah yang diarsir merupakan daerah A ∩ B

contoh:

Diketahui:

A={bilangan ganjil kurang dari 10}

B={bilangan prima kurang dari 10}

carilah A ∩ B dan gambar diagram Vennnya!

Jawab:

A={1,3,5,7,9}

B={2,3,5,7}

A ∩ B = { 3,5,7 }

Diagram Vennnya:

2. Gabungan Himpunan

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan himpunan A saja atau himpunan B saja.

Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan:

A ∪ B = {x| x ∈ A atau x ∈ B}

Daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan A ∪ B

contoh:

Diketahui:

A={faktor prima dari 30}

B={Nilai genap dibawah 10}

Tentukan A ∪ B dan gambar diagram Vennnya!

Jawab:

A={2,3,5}

B={2,4,6,8}

A ∪ B ={2,3,4,5,6,8}

Diagram Vennnya:

3. Selisih Himpunan

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan anggota A yang tidak menjadi anggota B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan: A – B, dibaca A kurang B.

contoh:

Diketahui:

A={1,2,3,4,5}

B={4,5,6,7,8}

Tentukan A – B!

Jawab:

A-B = {1,2,3,4,5} - {4,5,6,7,8} = {1,2,3}

4. Jumlah Himpunan

Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan dimana anggotanya adalah gabungan A dan B tetapi bukan irisan A dan B.

contoh:

Diketahui:

A={a,b,c,d,e,f}

B={d,e,f,g,h,i}

Tentukan A + B!

Jawab:

A+B= {a,b,c,d,e,f} + {d,e,f,g,h,i} = {a,b,c,g,h,i}

5. Komplemen

Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A. Komplemen A dinotasikan dengan A^C

contoh:

S={1,2,3,4,5,6}

A={4,5,6}

tentukan A^C !

Jawab:

A^C = {1,2,3}

G. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1. Komutatif.

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ B = B ∪ A

2. Asosiatif

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

3. Distributif

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

4. Dalil De Morgan

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan anggota A dan dilambangkan dengan A^C.

(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C